Sana Group bergerak di bidang percetakan. Perusahaan ini mencetak Antara lain Novel dan Majalah. Seperti percetakan lainnya, bahan utama yang diperlukan adalah kertas dan tinta. Dalam prosesnya juga terbatas oleh waktu yang tersedia. Tentukanlah jumlah novel dan majalah yang harus diproduksi untuk mendapatkan keuntungan maksimum bila diketahui sebuah novel memberi keuntungan Rp.3.000 sedangkan majalah memberi keuntungan Rp.2.000. Persediaan yang ada, yaitu kertas 70 Kg, tinta 40 desiliter dan waktu 90 jam.
Tabel 3.1 Data Produksi Bahan Jenis Produksi Bahan Yang Tersedia Novel Majalah Kertas(Kg)Tinta (desiliter) Waktu (jam) 2 1 1 1 1 3 70 40 90 Keuntungan (Ribu rupiah) 4 6 Selesaikanlah permasalahan di atas dengan menggunakan metode simpleks dan grafik! Jawab: Dari data diatas dapat dilakukan perhitungan secara manual sebagai berikut: Formulasi Linear Programming: a. Variabel Keputusan Novel = X 1 Majalah = X 2 b. Fungsi objektif Maksimumkan Z = 4X 1 + 6X 2 c. Kendala-kendala 2X 1 + X 2 ≤ 70 X 1 + X 2 ≤ 40 X 1 + 3X 3 ≤ 90 X 1, X 2 ≥ 0 Penyelesaian dengan Metode Simpleks Persoalan diatas dapat dicari pemecahannya dengan menggunakan metode simpleks.
18 Tanggapan to “Contoh-Contoh Soal Riset Operasi dan Penyelesaiannya”. Formulais program linier dan grafiknya d. Solusi optimal. Primal dan dualitasnya. Satrad245 said. Pada 10:28 AM.
Untuk penggunaan teknik simplek maka persoalan terlebih dahulu harus diubah ke dalam bentuk standar: Maksimumkan: Z – 4X 1 – 6X 2 = 0 Kendala-kendala: 2X 1 + X 2 + S 1= 70 X 1 + X 2 + S 2 = 40 X 1 + 3X 3 + S 3 = 90 Tabel 3.2 Simpleks Dasar Z X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 Solusi Rasio ZS 1 S 2 S 3 10 0 0 -42 1 1 -61 1 3 01 0 0 00 1 0 00 0 1 070 30 Entering variable pada tabel di atas adalah kolom X 2 karena -6 pada baris Z adalah nilai begatif terbesar. Baris S 3 merupakan leaving variable karena memiliki nilai rasio terkecil, yaitu 30. Oleh karena itu, angka 3 pada entering variable dan leaving variable merupakan nilai pivotnya. Setelah itu didapat persamaan pivot baru dengan membagi nilai yang ada pada baris S 3 dengan nilai pivot sebagai berikut: Tabel 3.3 Baris Pivot Baru Dasar Z X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 Solusi Rasio ZS 1 S 2 X 2 0 1/3 1 0 0 1/3 30 Sehingga tabel baru yang lengkap terlihat sebagai berikut: Tabel 4.4 Iterasi Dasar Z X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 Solusi Rasio ZS 1 S 2 X 2 10 0 0 -25/3 2/3 1/3 00 0 1 01 0 0 00 1 0 2-1/3 -1/3 1/3 18040 90 Setelah mendapatkan tabel baru ternyata didalam baris Z masih terdapat nilai negatif. Untuk itu dilakukan perhitungan seperti diatas. Dimana pada pembuatan tabel baru kolom masuk terdapat pada X 1 karena memiliki nilai negatif yang paling besar dan persamaan pivot terdapat pada S 2 karena memiliki rasio terkecil.
Tabel 3.5 Baris Pivot Baru (2).
(jika anda ingin men-download file secara utuh klik ) I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar peserta didik dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti, dan kompetitif. Salah satu materi yang dapat mengantar siswa untuk mampu berpikir logis, kritis, analitis dan kreatif adalah program linier, sekaligus mengurangi anggapan bahwa program linier itu sulit. Untuk itu guru sebagai fasilitator diharapkan mampu menciptakan suatu kondisi pembelajaran dengan menggunakan pendekatan, strategi serta model pembelajaran yang mampu mengantarkan siswa kepada tujuan pembelajaran.
Program linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program Linier banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Konsep dasar program linier telah ada pada jenjang pendidikan dasar, yang dimulai pengenalan lambang bilangan yang direpresentasikan melalui gambar benda di sekitar siswa, kemudian penjumlahan, pengurangan, perkalian serta membandingkan banyaknya benda. Di Sekolah Menengah Pertama (SMP) konsep diperluas melalui pembelajaran materi Sistem Persamaan Linier Satu Variabel (SPLSV), kemudian ditingkatkan melalui materi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV), di Sekolah Menengah Atas (SMA) telah diperkenalkan sistem pertidaksamaan linier dan materi khusus program linier yang menyajikan persoalan sehari-hari, kemudian m enerjemahkan permasalahan ke dalam model matematika, menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas, mencari penyelesaian optimum, menjawab permasalahan. Metode yang digunakan adalah metode grafik dengan menggunakan uji titiksudut dan garis selidik. Pada tingkat universitas, terdapat mata kuliah khusus program linier yang membahas metode penyelesaian program linier yang tujuannya mencari keuntungan maksimum dan mengeluarkan biaya minimum. Metode yang diberikan pada universitas adalah metode grafik, metode simpleks, metode analisis dual, metode transportasi.
Dengan melihat pengalaman dan kenyataan tersebut, tampak menarik apabila dikaji secara khusus mengenai materi yang berkaitan dengan program linier. Pada kesempatan ini penulis akan membahas pada materi yang berkaitan dengan program linier di satuan pendidikan SMA/MA dan materi-materi yang terkait pada program linier pada satuan pendidikan SD/MI, SMP/MTs, dan Perguruan Tinggi. Pengenalan Lambang Bilangan 2. Operasi bilangan 3 Mengurutkan Bilangan Biru = Universitas Ungu = SMA/MA Merah Jambu = SMP/MTsN Abu-abu = SD/MI II PEMBAHASAN I. TINGKAT UNIVERSITAS A. PROGRAM LINIER Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya.
PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. Formulasi Permasalahan Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai. Pembentukan model matematik Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis.
Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik.
Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan.
Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu.
Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan. Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥).
Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal.
Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan. Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan.
Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan. Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut: Fungsi tujuan: Maksimumkan atau minimumkan z = c 1x 1 + c 2x 2 +. + c nx n Sumber daya yang membatasi: a 11x 1 + a 12x 2 +.
+ a 1nx n = /≤ / ≥ b 1 a 21x 1 + a 22x 2 + + a 2nx n = /≤ / ≥ b 2 a m1x 1 + a m2x 2 + + a mnx n = /≤ / ≥ b m x 1, x 2, x n ≥ 0 Simbol x 1, x 2., x n (x i) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (x i) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c 1,c 2.,c n merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a 11.,a 1n.,a mn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b 1,b 2.,b m menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas. Pertidaksamaan terakhir (x 1, x 2, x n ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan.
Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik. Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya.
Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas. METODE SIMPLEKS Pada bagian terdahulu masalah program linear dengan dua peubah keputusan masih dapat diselesaikan dengan metode grafik. Akan tetapi pada kenyataannya masalah program linear yang dihadapi kebanyakan lebih dari dua peubah keputusan dengan berbagai macam batasan, sehngga dipandang tidak efisien bila menggunakan metode grafik untuk mencari penyelesaian optimumnya.
Menghadapi masalah program linear yang memiliki peubah keputusan lebih dari dua, metode simpleks yang lebih efisien. Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya menguji sebagaian dari jumlah penyelesaian yang layak dalam bantuan tabel.
Penggunaan dalam bentuk tabel ini membuat metode simpleks lebih siap untuk digunakan dengan bantuan komputer. Bentuk-Bentuk Masalah Program Linear Kendala utama masalah program linear dapat berbentuk ≤ atau =, I = 1,2,3,4, m (ada m banyaknya kendala, k peubah keputusan) kendala yang berbentuk pertidaksamaan dapat diubah menjadi persamaan beberapa cara sebagai berikut (i) Bentuk kendala x j ≤ b i. Dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan s t pada ruas kiri sedimikian hingga + s t = b t dengan s t ≥ 0. Dalam hal ini, s t = 0, bila = b i dan s j 0 bila i (ii) i, dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan c 1 pada ruas kanan sedemikian sehingga = + t i atau i, dengan b i ≥ 0 Sesuai dengan fungsinya, s 1 disebut peubah kekurangan (slack variabel) dan t 1 disebut peubah kelebihan (surplus variabel). Berdasarkan perubahan di atas, himpunan kendala utama akan berubah menjadi susunan persamaan linear.
= b i, i = 1, m ialah dengan memberi lambang peubah-peubah kekurangan atau kelebihan dengan x j dimulai dari j = k + 1 samapi j = n. Supaya penyelesaian susunan ini menjadi layak masih harus dipenuhi kendala tidak negative X j ≥ 0, j = 1, n Pada umumnya susunan persamaan linear (1) di atas termasuk jenis yang mempunyai peyelesaian tidak terhingga banyaknya. Di antara peyelesaian (1) dicari yang juga memenuhi kendala tidak negative (2), dan inipun pada umumnya masih tidak terhingga banyaknya. Metode garis selidik ax + by = k Menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan menggunakan uji titik sudut memerlukan perhitungan dan waktu yang cukup lama. Untuk itu, sering digunakan metode yang lebih sederhana, yaitu metode garis selidik yang berbentuk ax + by = k. Misalkan terdapat sutu fungsi objektif z = ax + by, dengan a dan b bilangan real. Dengan mengambil beberapa nilai k i untuk z, yaitu k 1, k 2, k n, diperoleh n garis selidik yang memiliki persamaan berikut k 1 = ax + by k 2 = ax + by k n = ax + by Garis-garis tyersebut mempunyai gradient yang sama, yaitu m = - a/b.
Dengan demikian, garis-garis tersebut merupakan garis-garis yang sejajar. Apabila digambarkan, sebagaian dari garis-garis tersebut terletak pada daerah penyelesian pertidaksamaan linier (daerah feasible) dan salah satu diantaranya melalui titik optimum. Garis yang melalui titik optimum inilah yang menghasilkan nilai optimum bagi fungsi objektif z = ax +. Garis selidik yang berada paling kanan atau paling atas pada daerah penyelesaian menunjukan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada paling kiri atau paling baah daerah penyelesaian menunjukkan nilai minimum.
Contoh: Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematia berikut. System pertidaksamann linier dua variabel: 2x + y ≤ 30 2x + 3y ≤ 50 X, y ≥ 0, dengan x, y € C Fungsi objektif memaksimumkan z = x + y Penyelesaian: Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengan k = 0, yaitu x + y = 0. Kemudian, kita buat garis-garis yang sejajar dengan garis x + y = 0, yaitu mengambil nilai k yang berbeda-beda. Dari gambar, tampak bahwa apabila nilai k makin besar, letak garis-garis x + y = k makin jauh dari titik O(0,0). Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan nilai z terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari titk O (0,0).
Nilai z maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang memalui titik (10,10), yaitu 10 + 10 = 20 dan nilai z minimum diperoleh Dario garis x + y = k yang melalui titik O (0,0) yaitu 0 + 0 = 0 Persamaan adalah III. TINGKAT SMP a. Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk umum persamaan linier satu variabel: ax + c = 0 a = koefisien x = variabel c = konstanta koefisien adalah bilangan yang menunjukkan faktor dari variabel variabel adalah huruf atau lambang yang belum diketahui nilainya. Konstanta adalah bilangan tetap. Sifat persamaan Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya walaupun di tambah, di kurang, dikalikan atau di bagi dengan suatu bilangan asalkan dilakukan pada kedua ruas. Menyelesaikan persamaan linear satu variabel Menyelesaikan suatu persamaan adalah mencari pengganti ini dari suatu variabel dengan suatu bilangan sehingga kalimat matematika terbuka tersebut menjadi kalimat matematika tertutup yang bernilai benar.
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan linier satu variabel Mengumpulkan suku sejenis Variabel dan konstanta dipisahkan dan dikumpulkan masing-masing dalam satu ruas Menyederhanakan tiap ruas Menyederhanakan baik variabel maupun konstanta yang sudah terkumpul dalam masing-masing ruas. Membagi kedua ruas dengan koeffisien variabel Apabila koefisien variabelnya belum -1 maka kedua ruas dibagi dengan koefisien variabelnya sehingga diperoleh koefisien dari variabelnya -1. Pertidaksamaan inier satu variabel Pertidaksamaan inier satu variabel adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama ( ≤, ≥ ) Sifat pertidaksamaan: Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya walaupun dikali/ dibagi dengan bilangan negative asalkan tanda pertidaksamaannya dirubah arahnya.
Persamaan Linear Dua Variabel 1. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan atau dalam defenisi lain persamaan (equation) adalah pernyataan yang berbentuk A = B, dimana A disebut ruas kiri atau pihak kiri dan B disebut ruas kanan atau pihak kanan. Selama siswa menerapkan operasi yang sama terhadap kedua ruas persamaan, maka siswa akan memperoleh persamaan-persamaan yang setara. Siswa dapat menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan atau membagi kedua ruas suatu persamaan oleh nilai yang sama dan mendapatkan suatu persamaan yang ekuivalen. Satu-satunya pengecualian yaitu mengalikan dan membagi dengan nol, itu tidak dibolehkan. Persamaan garis lurus pada bidang Cartesius dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c konstanta real dengan a, b ≥ 0, dan x, y adalah variabel pada himpunan bilangan real.
Perhatikan persamaan-persamaan berikut. 2 a – b = 1 c. 3 p + 9 q = 4 Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel.
Variabel pada persamaan x + 5 = y adalah x dan y, variabel pada persamaan 2 a – b = 1 adalah a dan b. Adapun variabel pada persamaan 3 p + 9 q = 4 adalah p dan q. Perhatikan bahwa pada setiap contoh persamaan di atas, banyaknya variabel ada dua dan masing-masing berpangkat satu. Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c R, a, b ≠ 0, dan x, y suatu variabel. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel Perhatikan persamaan x + y = 5.
Persamaan x + y = 5 masih merupakan kalimat terbuka, artinya belum mempunyai nilai kebenaran. Jika nilai x kita ganti bilangan 1 maka nilai y yang memenuhi adalah 4. Karena pasangan bilangan (1, 4) memenuhi persamaan tersebut, maka persamaan x + y = 5 menjadi kalimat yang benar. Dalam hal ini dikatakan bahwa (1, 4) merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan x + y = 5.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel a. Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan linear adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat satu. Sedangkan persamaan ax + by + c = 0 dengan a, b dan c € R dan a, b ≠ 0 dinamakan persamaan linear dua variabel. Suatu konstanta tersebut mengubah persamaan itu menjadi kalimat yang bernilai benar. Himpunan semua konstanta yang memenuhi persamaan itu disebut himpunan penyelesaian. Persamaan-persamaan seperti 2x + 5y + 8 = 0, 2y – 6x = 9, 3m + n = 9 adalah bentuk-bentuk persamaan linear dua variabel. Sistem persamaan linear dua variabel dalam x dan y adalah suatu susunan x dan y yang merupakan kesatuan-kesatuan yang masing-masing tidak berdiri sendiri, tetapi berfungsi membentuk kesatuan secara keseluruhan yang berbentuk ax + by = c, dimana a,b adalah koefisien dan c adalah konstanta, a dan b tidak sama dengan nol.
Jika diketahui dua persamaan linear dua variabel, yaitu: a 1x + b 1y = c 1 a 2x + b 2y = c 2 Maka kedua persamaan diatas dikatakan sistem persamaan linear dua variabel dalam bentuk baku. Koordinat titik (x,y) yang memenuhi kedua persamaan itu dikatakan penyelesaian SPLDV tersebut. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV Dalam menyelesaikan soal-soal sistem persamaan linear dua variabel ada beberapa metode yang digunakan, yaitu: § Metode Grafik Grafik dari dua persamaan adalah berupa dua buah garis. Dalam metode grafik ada tiga hal yang perlu diperhatikan yaitu: 1) Jika kedua garis itu berpotongan, maka titik potongnya merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. 2) Jika kedua garis itu berimpit, maka himpunan penyelesaiannya tak berhingga.
3) Jika kedua garis itu sejajar, maka sistem persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 10 dan x + y = 6, x,y € R dengan metode grafik.
Jawab: Langkah 1: Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu X (y = 0) dan sumbu Y (x = 0). 1) x + 2y = 10 x y (x,y) 0 5 (0,5) 10 0 (10,0) 2) x + y = 6, x y (x,y) 0 6 (0,6) 6 0 (6,0) Langkah 2.